怎么判断函数的不可导点？
首先，理解什么是可导点。
1.在这点连续，2.左右导数都存在且相等。然后不可导又分为4种情况，1.角点（corner）左右导数都存在但是不相等，2.尖点（cusp）左右导数不相等且分别为正负无穷，3.垂直切线点（vertical tangent）极限不存在，但是左右导数相等为正无穷或负无穷，4.不连续点（discontinuity）必不可导
函数不可导是不是就是导数等于零的时候？
不可导说明在该点 左导数和右导数不相同 如f(x)=|x|在x=0点 左右导数分别为1和-1 在该点不可导
不可导的点，共有四种情况：
1、无定义的点，没有导数存在(D.N.E.= do not exist)；[无定义]
2、不连续的点，或称为离散点，导数不存在；[不连续]
3、连续点，但是此点为尖尖点，左右两边的斜率不一样，也就是导数不一样，不可导。
[不光滑]
4、有定义，连续、光滑，但是斜率是无穷大。[导数值为∞]
例如圆的左右两侧的切线是竖直的，斜率为无穷大，我们也说导数不存在。
一个函数可导的条件
函数可导的充要条件：函数在该点连续且左导数、右导数都存在并相等。函数可导则函数连续；函数连续不一定可导；不连续的函数一定不可导。
函数可导与连续的关系
定理：若函数f(x)在x0处可导，则必在点x0处连续。
上述定理说明：函数可导则函数连续；函数连续不一定可导；不连续的函数一定不可导。
如果f是在x0处可导的函数，则f一定在x0处连续，特别地，任何可导函数一定在其定义域内每一点都连续。反过来并不一定。事实上，存在一个在其定义域上处处连续函数，但处处不可导。
互为反函数的导数关系
互为反函数的导数没有关系。导数也叫导函数值，是微积分中的重要基础概念。当函数y=f（x）的自变量x在一点x0上产生一个增量Δx时，函数输出值的增量Δy与自变量增量Δx的比值在Δx趋于0时的极限a如果存在，a即为在x0处的导数，记作f‘（x0）或df（x0）/dx。导数是函数的局部性质。一个函数在某一点的导数描述了这个函数在这一点附近的变化率。如果函数的自变量和取值都是实数的话，函数在某一点的导数就是该函数所代表的曲线在这一点上的切线斜率。
可导函数的导函数一定连续吗
可导函数的导函数不一定连续，可以有震荡间断点，例如：把f（t）=sin（1/t）*t^2的可去间断点t=0补充定义f（0）=0，得到的新函数可导，导函数在t=0处间断。
在微积分学中，一个实变量函数是可导函数，若其在定义域中每一点导数存在。直观上说，函数图像在其定义域每一点处是相对平滑的，不包含任何尖点、断点。
关于函数的可导导数和连续的关系
1、连续的函数不一定可导。
2、可导的函数是连续的函数。
3、越是高阶可导函数曲线越是光滑。
4、存在处处连续但处处不可导的函数。
左导数和右导数存在且“相等”，才是函数在该点可导的充要条件，不是左极限=右极限（左右极限都存在）。连续是函数的取值，可导是函数的变化率，当然可导是更高一个层次。
函数的左右导数怎么求
对式子f（x）求导之后得到导数为f‘（x），添加dx，即f‘（x）dx就是微分。如果是导函数连续，则左右导数一样；如果存在分段点，绝对值式子等，左右导数就可能不相等，需要再进行讨论。
求函数的左右导数可以用定义求左右导数，如果左右导数存在且都是A，则导数是A。这样做的好处是避免出错，如果想用左右对应法则的导函数来求，可用导数极限定理：f（x）在x0的邻域内连续，在去心邻域内可导，lim（x→x0f‘（x）=A，则f‘（x0）=A。
如何判断函数可导
设y=f（x）是一个单变量函数，如果y在x=x0处左右导数分别存在且相等，则称y在x=x0处可导。如果一个函数在x0处可导，那么它一定在x0处是连续函数。
函数在定义域中一点可导需要一定的条件：函数在该点的左右导数存在且相等，不能证明这点导数存在。只有左右导数存在且相等，并且在该点连续，才能证明该点可导。可导的函数一定连续；连续的函数不一定可导，不连续的函数一定不可导。
幂指函数求导
幂指函数既像幂函数，又像指数函数，二者的特点兼而有之。作为幂函数，其幂指数确定不变，而幂底数为自变量；相反地，指数函数却是底数确定不变，而指数为自变量。幂指函数就是幂底数和幂指数同时都为自变量的函数。此函数的推广，就是广义幂指函数。
二元函数连续偏导数一定存在吗
不一定存在，因为对于多元函数而言，任何导数都是偏导，沿着坐标轴的方向是偏导，沿着任意方向是方向导数，还是偏导，是沿着特殊方向的偏导，不过写出来的形式是全导符号形式，含义却是偏导性质。
导数，是微积分学中重要的基础概念，是函数的局部性质。当函数y=f（x）的自变量x在一点x0上产生一个增量Δx时，函数输出值的增量Δy与自变量增量Δx的比值在Δx趋于0时的极限a如果存在，a即为在x0处的导数，记作f‘（x0）或df（x0）/dx。
对数函数求导的方法
1、利用反函数求导：设y=loga（x）则x=a^y。
2、根据指数函数的求导公式，两边x对y求导得：dx/dy=a^y*lna
3、所以dy/dx=1/（a^y*lna）=1/（xlna）。
4、如果ax=N（a>0，且a≠1），那么数x叫做以a为底N的对数，记作x=logaN，读作以a为底N的对数，其中a叫做对数的底数，N叫做真数。
5、一般地，函数y=logax（a>0，且a≠1）叫做对数函数，也就是说以幂（真数）为自变量，指数为因变量，底数为常量的函数，叫对数函数。
6、其中x是自变量，函数的定义域是（0，+∞），即x>0。它实际上就是指数函数的反函数，可表示为x=ay。因此指数函数里对于a的规定，同样适用于对数函数。
高等数学隐函数的求导有法则吗
隐函数求导法则的基本原则：
隐函数求导不需要记忆公式计算导数，建议借助求导的四则运算法则与复合函数求导的运算法则，采取对等式两边同时关于同一变量求导数的方式来求解；
隐函数求导方法：
先把隐函数转化成显函数，再利用显函数求导的方法求导；隐函数左右两边对x求导，注意把y看作x的函数；利用一阶微分形式不变的性质分别对x和y求导，再通过移项求值；把n元隐函数看作n加1元函数，通过多元函数的偏导数的商求得n元隐函数的导数。
如何利用导数判断函数单调性
利用导数判断函数单调性的步骤如下：
先求出原函数的定义域；对原函数求导；令导数大于零；解出自变量的范围；该范围即为该函数的增区间；同理令导数小于零，得到减区间；若定义域在增区间内，则函数单增；若定义域在减区间内则函数单减，若以上都不满足，则函数不单调。
导数是函数的局部性质。一个函数在某一点的导数描述了这个函数在这一点附近的变化率。如果函数的自变量和取值都是实数的话，函数在某一点的导数就是该函数所代表的曲线在这一点上的切线斜率。导数的本质是通过极限的概念对函数进行局部的线性逼近。例如在运动学中，物体的位移对于时间的导数就是物体的瞬时速度。
函数的单调性也可以叫做函数的增减性。当函数的自变量在其定义区间内增大或减小时，函数值也随着增大或减小，则称该函数为在该区间上具有单调性，即单调增加或单调减少。
