什么是偏微分方程
包含未知函数的偏导数(或偏微分)的方程。
方程中所出现未知函数偏导数的最高阶数，称为该方程的阶。
在数学、物理及工程技术中应用最广泛的，是二阶偏微分方程，习惯上把这些方程称为数学物理方程。
客观世界的物理量一般是随时间和空间位置而变化的，因而可以表达为时间坐标t和空间坐标
的函数，这种物理量的变化规律往往表现为它关于时间和空间坐标的各阶变化率之间的关系式，即函数u关于t与的各阶偏导数之间的等式。
延伸阅读
偏微分方程三大求解方法
可分为两大分支:解析解法和数值解法。
只有很少一部分偏微分方程能求得解析解，所以实际应用中，多求数值解。
数值解法最常见的有三种:差分法(最普遍最通用)、有限体积法、有限元法，其他数值解法还有:正交配置法、微扰法(可解薛定谔方程)、变分法等等。
世界最难偏微分方程
大部分的偏微分方程都很难解，最难的当属纳维一斯托克斯方程，这个韦东奕研究过的涡流方程，梵高用一幅星空图形象的描绘出来了。
爱因斯坦的广义相对论也是一个极难解的偏微分方程组，一战时史瓦斯得到了第一个解，表明黑洞的存在，可见第一个解并不出自爱因斯坦本人，毕竟爱因斯坦不喜欢复杂的计算，哈哈这是玩笑话，他的数学可是很好的。
偏微分方程原理
偏微分方程是指包含未知函数的偏导数(或偏微分)的方程。
方程中所出现未知函数偏导数的最高阶数，称为该方程的阶。
在数学、物理及工程技术中应用最广泛的，是二阶偏微分方程，习惯上把这些方程称为数学物理方程。
由若干个偏微分方程所构成的等式组就称为偏微分方程组，其未知函数也可以是若干个。当方程的个数超过未知函数的个数时，就称这偏微分方程组为超定的；当方程的个数少于未知函数的个数时，就称为欠定的。
如果一个偏微分方程（组）关于所有的未知函数及其导数都是线性的，则称为线性偏微分方程（组）。否则，称为非线性偏微分方程（组）。在非线性偏微分方程（组）中，如果对未知函数的最高阶导数来说是线性的，那么就称为拟线性偏微分方程（组）。
设Ω是自变数空间R中一个区域，u是在这个区域上定义的具|α|阶连续导数的函数。如果它能使方程(2)在Ω上恒等成立，那么就称u是该方程在Ω中的一个经典意义下的解，简称为经典解。在不致误会的情况下，就称为解。
偏微分方程理论研究一个方程（组）是否有满足某些补充条件的解（解的存在性），有多少个解（解的惟一性或自由度），解的各种性质以及求解方法等等，并且还要尽可能地用偏微分方程来解释和预见自然现象以及把它用之于各门科学和工程技术。
偏微分方程理论的形成和发展都与物理学和其他自然科学的发展密切相关，并彼此促进和推动。其他数学分支，如分析学、几何学、代数学、拓扑学等理论的发展也都给予偏微分方程以深刻的影响。
偏微分方程谁发明的
微积分方程这门学科产生于十八世纪，欧拉在他的著作中最早提出了弦振动的二阶方程，随后不久，法国数学家达朗贝尔也在他的著作《论动力学》中提出了特殊的偏微分方程。
对于所有可能的物理现象用某些多个变量的函数表示，只能是理想化的，如介质的密度，实际上“在一点”的密度是不存在的。
而我们把在一点的密度看作是物质的质量和体积的比当体积无限缩小的时候的极限，这就是理想化的。
介质的温度也是这样。这样就产生了研究某些物理现象的理想了的多个变量的函数方程，这种方程就是偏微分方程。
偏微分方程是什么
凡是联系自变量x与这个自变量的未知函数和它的导数以及直到n阶导数在内的方程都叫做常微分方程. 如果未知函数是多元函数,那么在微分方程中将出现偏导数,这种方程叫偏微分方程.
偏微分方程有多难
并不难。
你说的偏微分方程一般是大一下学期的学生所学的高等数学(下)的内容，这里偏微分方程实际上是计算会比较麻烦，但是不难。
举个例子吧，假设一函数z=f(x,y)=3x+2y，这已经是二元函数了，只有多元函数才有偏导数这个概念，和平常学的一元函数不太一样。
z/x=3（这里是z对x求偏导）;z/y=2（这里是z对y求偏导）
其实和一元函数的求导差不多，但是假如对x求偏导的话，y就看成常数；对y求偏导同理。
偏微分方程的一般求解过程
1. 偏微分方程
偏微分方程（Partial Differential Equation，简写为PDE）是未知量包含多个独立变量、方程包含偏微分运算的一类微分方程。
在物理模型中，最常见的情况是：需要求解的未知量含有时间变量(t)和空间变量（视维数变化）。最简单的偏微分方程包括二维稳定问题（只和空间变量x,y有关）和一维传导/波动问题（只和一维空间变量x和时间t有关）。
2. 二阶线性偏微分方程的一般讨论
一般地，任意的二维二阶线性偏微分方程都可以写成如下形式：
a?2u?x2+b?2u?x?y+c?2u?y2+d?u?x+e?u?y+fu(x,y)+g(x,y)=0
根据二阶项系数，该类型的偏微分方程可以分为以下形式：
Δ=b2?4ac>0?双曲型(hyperbolic)方程，一般描述能量守恒系统
Δ=b2?4ac=0?抛物型(parabolic)方程，一般描述耗散系统
Δ=b2?4ac<0?椭圆型(elliptic)方程，一般描述稳定状态和系统
常见的经典二阶线性偏微分方程：
1) 波动方程：?2u?t2?1a2?2u=f(x,y,z,t)，一维的波动方程 Δ=1a2>0 属双曲型方程；
2) 热传导方程：?u?t?k?2u=f(x,y,z,t)，Δ=0 属抛物型方程；
3) 泊松方程：?2u=f(x,y,z,t) 其齐次形式 ?2u=0 称为拉普拉斯方程。拉普拉斯方程是典型的椭圆型方程。
3. 初始条件和边界条件
正如常微分方程一样，单独的偏微分方程是不能定解的；需要构成定解问题，还需要初始条件和边界条件的加持：或者需要给出一定个数的初始条件，或者需要给出一定个数的边界条件，或者给出由初始条件和边界条件构成的混合条件。
边界条件
边界条件规定了未知量 u 在偏微分方程边界上的取值/偏导数等信息。如果 u 的偏微分方程的区域关于自变量x的边界是x=x1和x=x2（对于二维区域来说，说明该区域夹在两条平行线间；对于三维区域，则夹在两个平面间），那么下式：
u(x,y)|x=x1=u1(y),u(x,y)|x=x2=u2(y)
就构成了一组边界条件。
一般地说，边界面的形状记作Σ，则比如：
1) 第一类边界条件——狄利克雷(Dirichlet)条件（给出未知量取值）：u(x,y)|Σ=?(x,y)
2) 第二类边界条件——诺伊曼(Neumann)条件（给出未知量的偏导数值）：?u(x,y)?n=ψ(x,y)
3) 第三类边界条件——斯托克斯(Stokes)条件（给出未知量取值和偏导数的线性叠加）：αu(x,y)|Σ+β?u(x,y)?n=γ(x,y)
边界条件的类型非常丰富，只要是给出未知量在边界上行为的条件都是边界条件，一些常用但比较特别的比如：
a) 规定无穷远处未知量u为零：limr→∞u(x,y)=0,r=x2+y2??????√；
b) 或者正则条件，给出未知量在无穷远处的行为或渐近形式：u(r)～1r
b) 规定某点处未知量u有界：u(x0,y0)有界
初始条件
初始条件规定了未知量 u 在某个独立变量取特定值时的取值/偏导数值等信息。比如关于独立变量x,y的未知量u(x,y)：
u(x,y)|x=x0=u0(y),?u?x|x=x0=f(y)
就构成了初始条件。有时，初始条件给出的也是一个变量处在边界上的情形，实际上也可以理解为一种边界条件，但是初始条件是“单边条件”，即只给出一个变量在一个点的值，而不会给出在整个边界上的信息，因此二者很容易区分。
初始条件得名的原因是，给出初始条件往往是对于时间变量t，其物理意义为初始时刻系统的状态。
