素数的定义
触碰标题下面一行的“邵勇老师”查看所有文章;触碰“数学教学研究”, 关注本微信公众号(sx100sy)。本公众号内容均由邵勇(?北京?)本人独创,欢迎转发,但未经许可不能转载。每周推送两到三篇内容上有份量的数学文章,但在行文上力争做到深入浅出。几分钟便可读完,轻松学数学。?特别声明,本人未曾授权任何网站(包括微博)、公众号或其他什么号转载北京邵勇原创的“数学教学研究”公众号的内容。建议您一定直接关注本公众号(sx100sy),这样有什么问题可以留言交流和发消息,我会诚恳回复。未经授权而转载我文章的地方丢失了很多功能,比如留言,比如发消息到我后台。未经授权而转载我文章的地方,毕竟还存留着贯穿于我文章中的图片(比如公式),图片的右下角都有原公众号的水印“微信号:sx100sy”,通过在微信中搜索“sx100sy”,一定可以找到原始的公众号,也就是本公众号《数学教学研究》(sx100sy)并加以关注。本公众号才是良好的交流平台和文明的生态环境。今天简单地讲一讲梅森数及梅森素数。不可能涉及梅森数的方方面面,而只是讲一讲比较好理解的方面。形如的数叫做梅森数,其中p为素数。就算梅森数的定义中要求p是素数,也不能保证梅森数一定是素数。梅森数可能是素数,也可能不是素数即合数。我们列出p取前面一些素数时的梅森数,并指出它们是素数还是合数。从上表看,好象素数多于合数。其实不然。上表若再往后列出,素数的情况就远少于不是素数的情况。目前已经证明了,梅森素数的个数是无穷多的。而梅森数列变大的速度非常之快,所以,通过梅森数,数学家们可以更加容易地发现更大的素数。梅森数定义中的p为素数。那么为什么不考虑p为合数的情况呢?是这样,若p为合数,则(2^p-1)一定是合数,而我们更关心的是梅森素数。为什么p是合数时(2^p-1)一定是合数呢?可以分两种情况讨论。第一种情况,p为偶合数,则(2^p-1)是平方差的形式,当然是合数。第二种情况,p为奇合数,不妨设p=mn,则有所以它也是合数。于是,梅森数定义中就只规定p是素数。(以上p为奇合数的情况的说明,回答了上次那位朋友的留言。感谢这位读者。!)因为梅森素数很快就变得很大很大,并且后一个梅森素数比前一个梅森素数要大上很多很多,所以,稍微大一点的梅森素数动辄就有几十位、几百位甚至几千位,……。今天我就讲一讲梅森素数位数的计算。(其实就是梅森数的位数的计算。)以p取521为例。已经证实,p=521时的梅森数是素数:它是一个具有157位的正整数,这已经是一个很大的数了。但因为素数有无穷多,所以,这个157位的素数也真的不算大,或者说很小。一般来说,我们常用的计算器是显示不出完整的157位的这个梅森素数的。其实我们也没有必要写出这个157位的素数来。但是,这个157位数的“157”,是怎么知道的呢?算出一个梅森素数有多少位,倒是一个很有趣的事情。这并不难办到。我们下面就来算一算M521这个梅森素数的位数。首先,我们要说明,梅森素数与它的下一个正整数(即比它大1的正整数)具有相同的位数。因为若不具有相同位数,而后者又比前者大1,那么,前者就一定是以0结尾的正整数。但是,2的正整数次方都是以2,4,6或8结尾的,所以,梅森数M521是以1,3,5或7结尾的,不可能以0结尾。也就是说,梅森素数M521加1后,不足以增加位数。于是,我们要计算梅森素数M521的的位数,只需计算2^521的位数就可以了。给“2的521次方”取以10为底的对数,得到把对数式转换成指数式,得到“10的156次方”是一个具有157位数字的正整数,并且是所有具有157位数字的整数中最小的一个:“10的157次方”是一个具有158位数字的正整数,并且是所有具有158位数字的整数中最小的一个:由于所以,好的,今天就讲到这里,下期讲一讲梅森数与完全数的关系。敬请关注和阅读。