魏尔斯特拉斯函数
数千年以来，几何学的研究者一直认为能用几何来揭示自然的奥秘。甚至近代物理学的奠基者、伟大的科学家伽利略极其权威地断言：数理科学是大自然的语言。
然而在很长的时间中传统几何学所描述的三角形、圆等几何图形都只是具有可切性的规则形体。这类形体在自然界里只占极少数。
那有没有可能存在着一种类似于雪花一样，但却不规则的、不光滑的，却又能在细微之处无限相似的图形呢？
1883年，康托尔为数学引入了一个分形：康托尔集，取一条长度为1的直线段，将它三等分，去掉中间一段，留剩下两段，再将剩下的两段分别三等分，各去掉中间一段，剩下更短的四段再分别三等分……如此重复这样的操作一直继续下去，直至无穷。
由于在不断分割舍弃过程中，所形成的线段数目越来越多，长度越来越小，在极限的情况下，得到一个离散非空的点集(线段的端点都没有去掉，其非空性是显然的)，其lebesgue测度为零(大家可以形象的理解为长度)。这个点集被称为康托尔点集
1895年，魏尔斯特拉斯提出了第一个分形函数“魏尔斯特拉斯函数”
（魏尔斯特拉斯方程）
并凭借函数曲线特点“处处连续，处处可以无限细分下去，”证明了所谓的“病态”函数的存在性。
（魏尔斯特拉斯函数图）
1906年，科赫在论文《关于一条连续而无切线，可由初等几何构作的曲线》中提到了一种像雪花的几何曲线，它的每条曲线都可以相似的形状无限大的细分下去，而这个雪花曲线就是特例科赫曲线。
1914年，波兰数学家谢尔宾斯基利用等边三角形，沿三边中点的连线，将它分成四个小三角形，去掉中间的那一个小三角形。再对其余三个小三角形重复之前的操作，发现了可以无限细分下去的谢尔宾斯基三角形。
两年后，他用类似的方法将正方形进行分形，发现了正方形的分形——谢尔宾斯基地毯。
1967年，本华·曼德博在美国权威的《科学》杂志上发表了题为《英国的海岸线有多长？统计自相似和分数维度》的著名论文。其中提到海岸线作为曲线，其特征是极不规则、极不光滑的，呈现极其蜿蜒复杂的变化。我们不能从形状和结构上区分这部分海岸与其他分海岸有什么本质的不同。
这种几乎同样程度的不规则性和复杂性，说明海岸线在形貌上是自相似的，也就是局部形态在一定程度上与整体形态的相似。
1975年冬天他将把这些部分与整体以某种方式相似的形体称为分形，创立了“分形”这个概念。在此基础上，形成了研究分形性质及其应用的科学，称为分形理论，并由此创立了“分形几何理论”从而把数学研究扩展到了从前几何学无法涉足的那些“病态曲线”和“几何学怪物”的领域。
“云朵不是球形的，山峦不是锥形的，海岸线不是圆形的，树皮不是光滑的，闪电也不是一条直线。”分形几何学所映射出的自然事物不再是光滑无瑕、平坦规整的，而是凸凹不平、粗糙丛杂、扭曲断裂、纠结环绕的几何形体。
但是，分形几何学却否定了关于事物大小和久暂的区分的绝对标度性，指出对于大自然的某些现象，去寻求特征尺度是毫无意义的。并且还将艺术和数学联系在了一起，本华·曼德博向世界展示了这些惊人的艺术创作，之后分形艺术便一发不可收拾。
（分形几何艺术作品）
（分形几何艺术作品）
分形艺术不同于普通的“电脑绘画”，它主要利用分形几何学原理，借助计算机强大的运算能力，将数学公式反复迭代运算，再结合创作者的审美及美术功底，就将创作出一幅幅精美的艺术画作。
（分形几何艺术作品）
（分形几何艺术作品）
从此以后，我们看到的数学不再只有那些枯燥的数学公式，更有了它美轮美奂的另一面。
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